[백준][파이썬]12865번 - 평범한 배낭

문제

이 문제는 아주 평범한 배낭에 관한 문제이다.

한 달 후면 국가의 부름을 받게 되는 준서는 여행을 가려고 한다. 세상과의 단절을 슬퍼하며 최대한 즐기기 위한 여행이기 때문에, 가지고 다닐 배낭 또한 최대한 가치 있게 싸려고 한다.

준서가 여행에 필요하다고 생각하는 N개의 물건이 있다. 각 물건은 무게 W와 가치 V를 가지는데, 해당 물건을 배낭에 넣어서 가면 준서가 V만큼 즐길 수 있다. 아직 행군을 해본 적이 없는 준서는 최대 K만큼의 무게만을 넣을 수 있는 배낭만 들고 다닐 수 있다. 준서가 최대한 즐거운 여행을 하기 위해 배낭에 넣을 수 있는 물건들의 가치의 최댓값을 알려주자.

입력

첫 줄에 물품의 수 N(1 ≤ N ≤ 100)과 준서가 버틸 수 있는 무게 K(1 ≤ K ≤ 100,000)가 주어진다. 두 번째 줄부터 N개의 줄에 거쳐 각 물건의 무게 W(1 ≤ W ≤ 100,000)와 해당 물건의 가치 V(0 ≤ V ≤ 1,000)가 주어진다.

입력으로 주어지는 모든 수는 정수이다.

출력

한 줄에 배낭에 넣을 수 있는 물건들의 가치합의 최댓값을 출력한다.

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냅색(Knapsack) 알고리즘

배낭에 담을 수 있는 무게의 최댓값이 정해져 있고, 일정 가치와 무게가 있는 짐들을 배낭에 넣을 때,가치의 합이 최대가 되도록 짐을 고르는 방법을 찾는 문제

 

짐을 쪼갤 수 있는 경우(무게가 소수일 수 있는 경우)

-> 분할가능 배낭문제(Fractional Knapsack Problem)

-> 그리디 알고리즘

-> 다항 시간

 

짐을 쪼갤 수 없는 경우(이 경우 짐의 무게는 0이상의 정수만 가능)

-> 0-1 배낭문제(0-1 Knapsack Problem)

-> 동적계획법(DP)

-> 의사 다항 시간

 

풀이 과정

배낭이 버틸 수 있는 용량은 7이라고 하면 K=7이다.

물건이 4개가 있고, 각각의 무게와 가치는 아래 표와 같다.

무게	6	4	3	5
가치	13	8	6	12

첫 번째 물건은 무게가 6이므로 배낭에 담을 수 있다.

두 번째 물건은 무게가 4이므로 배낭에 담으면 배낭의 무게가 10이 되기 때문에 담을 수 없다.

그렇다면 첫 번째 물건을 버릴지, 두 번째 물건을 버릴지 선택해야 한다.

 

지금은 첫 번째 물건을 가져가는 것이 가치있지만, 뒤의 물건에 따라 어떤 것을 담는 것이 더 가치있는지 알 수 없다.

그렇기에 더 가치있는 것을 판별해줄 알고리즘이 필요하다.

 

N*K의 2차원 배열 d[n][k]를 만들어 각각의 물건을 선택하라 때 마다 최대 가치를 판별해줄 수 있도록 하자.

d[n][k]는 N번째 물건까지 살펴보았을 때, 무게가 K인 배낭의 최대 가치이다.

x축엔 가방 1~K까지의 무게, y축은 N개 개수만큼의 배열을 만들어준다.

 

물건을 배낭에 담을 때,

1. 현재 배낭의 허용 무게보다 넣을 물건의 무게가 더 크다면 넣지 않는다
2. 그렇지 않다면, 다음 중 더 나은 가치를 선택하여 넣는다.
   1. 현재 넣을 물건의 무게만큼 배낭에서 뺀다. 그리고 현재 물건을 넣는다.
   2. 현재 물건을 넣지 않고 이전 배낭 그대로 가지고 간다.

 

위 과정을 식으로 나타내면 다음과 같다.

현재 담을 물건의 인덱스를 i, 현재 가방 허용 용량이 j, 현재 담을 물건의 무게를 weight, 가치 value라고 하자.

j < weight : d[i][j] = d[i-1][j]

d[i][j] = max(d[i-1][j-weight]+value), d[i-1][j])

		0	1	2	3	4	5	6	7
weight	value
6	13		0	0	0	0	0	13	13
4	8		0	0	0	8	8	13	13
3	6		0	0	6	8	8	13	14
5	12		0	0	6	8	12	13	14

 

n, k = map(int, input().split())

thing = [[0,0]]
d = [[0]*(k+1) for _ in range(n+1)]

for i in range(n):
    thing.append(list(map(int, input().split())))

for i in range(1, n+1):
    for j in range(1, k+1):
        w = thing[i][0]
        v = thing[i][1]

        if j < w:
            d[i][j] = d[i-1][j]
        else:
            d[i][j] = max(d[i-1][j], d[i-1][j-w]+v)

print(d[n][k])

 

 

 

출처

https://ko.wikipedia.org/wiki/%EB%B0%B0%EB%82%AD_%EB%AC%B8%EC%A0%9C

https://claude-u.tistory.com/208

https://hongcoding.tistory.com/50